Euler's theorem

En el campo matemático de la geometría diferencial, el teorema de Euler es un resultado sobre la curvatura de curvas en una superficie. El teorema establece la existencia de curvaturas principales y direcciones principales asociadas que dan las direcciones en las que la superficie se curva más y menos. El teorema lleva el nombre de Leonhard Euler quien demostró el teorema en . Más precisamente, sea M una superficie en el espacio euclidiano tridimensional, y p un punto en M. Un plano normal que pasa por p es un plano que pasa por el punto p que contiene el vector normal a M. A través de cada vector tangente (unitario) a M en p, pasa un plano normal PX que corta una curva en M. Esa curva tiene una cierta curvatura κX cuando se considera como una curva dentro de PX. Siempre que no todos los κX sean iguales, hay algún vector unitario X1 para el cual k1 = κX1 es lo más grande posible, y otro vector unitario X2 para el cual k2 = κX2 es lo más pequeño posible. El teorema de Euler afirma que X1 y X2 son perpendiculares y que, además, si X es cualquier vector que forma un ángulo θ con X1, entonces Las cantidades k1 y k2 se llaman curvaturas principales, y X1 y X2 son las direcciones principales correspondientes. La ecuación se llama a veces ecuación de Euler . Ver también Differential geometry of surfaces Dupin indicatrix