scheme

En matemáticas, un esquema es una estructura matemática que amplía la noción de variedad algebraica de varias maneras, como tener en cuenta las multiplicidades (las ecuaciones x = 0 y x2 = 0 definen la misma variedad algebraica pero esquemas diferentes) y permitir "variedades" definidas sobre cualquier anillo conmutativo (por ejemplo, las curvas de Fermat están definidas sobre los enteros). La teoría de esquemas fue introducida por Alexander Grothendieck en 1960 en su tratado "Éléments de géométrie algébrique"; uno de sus objetivos era desarrollar el formalismo necesario para resolver problemas profundos de la geometría algebraica, como las conjeturas de Weil (la última de las cuales fue demostrada por Pierre Deligne). Fuertemente basada en el álgebra conmutativa, la teoría de esquemas permite un uso sistemático de métodos de la topología y el álgebra homológica. La teoría de esquemas también unifica la geometría algebraica con gran parte de la teoría de números, lo que finalmente condujo a la prueba de Wiles del último teorema de Fermat. Formalmente, un esquema es un espacio topológico junto con anillos conmutativos para todos sus conjuntos abiertos, que surge de pegar espectros (espacios de ideales primos) de anillos conmutativos a lo largo de sus subconjuntos abiertos. En otras palabras, es un espacio anillado que es localmente un espectro de un anillo conmutativo. El punto de vista relativo es que gran parte de la geometría algebraica debe desarrollarse para un morfismo X → Y de esquemas (llamado un esquema X sobre Y), en lugar de para un esquema individual. Por ejemplo, al estudiar superficies algebraicas, puede ser útil considerar familias de superficies algebraicas sobre cualquier esquema Y. En muchos casos, la familia de todas las variedades de un tipo dado puede considerarse a su vez como una variedad o esquema, conocido como espacio de moduli.