weight

No campo matemático da teoria de representações, um peso de uma álgebra A sobre um corpo F é um homomorfismo de álgebras de A para F, ou equivalentemente, uma representação unidimensional de A sobre F. É o análogo algébrico de um caráter multiplicativo de um grupo. A importância do conceito, no entanto, provém de sua aplicação a representações de álgebras de Lie e portanto também a representações de grupos algébricos e de Lie. Nesse contexto, um peso de uma representação é uma generalização da noção de autovalor, e o espaço próprio correspondente é chamado de espaço de pesos. Motivação e conceito geral Dado um conjunto S de matrizes sobre o mesmo corpo, cada uma das quais diagonalizável, e quaisquer duas das quais comutam, é sempre possível diagonalizar simultaneamente todos os elementos de S. Equivalentemente, para qualquer conjunto S de transformações lineares semissimples mutuamente comutativas de um espaço vetorial V de dimensão finita existe uma base de V consistindo de autovetores simultâneos de todos os elementos de S. Cada um desses autovetores comuns v ∈ V define um funcional linear na subálgebra U de End(V) gerada pelo conjunto de endomorfismos S; esse funcional é definido como o mapa que associa a cada elemento de U seu autovalor no autovetor v. Esse mapa também é multiplicativo e envia a identidade para 1; assim é um homomorfismo de álgebras de U para o corpo base. Esse “autovalor generalizado” é um protótipo para a noção de peso. A noção está intimamente relacionada à ideia de caráter multiplicativo em teoria de grupos, que é um homomorfismo χ de um grupo G para o grupo multiplicativo de um corpo F. Assim χ: G → F× satisfaz χ(e) = 1 (onde e é o elemento identidade de G) e para todos g, h em G. De fato, se G age em um espaço vetorial V sobre F, cada espaço próprio simultâneo para todo elemento de G, se tal existir, determina um caráter multiplicativo em G: o autovalor nesse espaço próprio comum de cada elemento do grupo.